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Crédito, GETTY IMAGES
A quadratura do círculo se tornou sinônimo de algo impossível de se realizar.
Existe um conjunto de problemas clássicos 🏀 da antiga matemática que parecem encantadoramente simples. Mas, na verdade, não é apenas difícil resolvê-los – é impossível.
Foram necessários milênios 🏀 para comprovar essa impossibilidade. Enquanto isso, gênios como Euclides, Arquimedes, René Descartes, Isaac Newton e Carl Friedrich Gauss, além de 🏀 artistas e intelectuais, tentaram encontrar a solução desses problemas, sem sucesso.
Mas suas tentativas não foram em vão. Elas foram inspiradoras 🏀 e impulsionaram o desenvolvimento da matemática.
Não se sabe ao certo como esses problemas surgiram, mas o mais famoso deles – 🏀 procurar a quadratura do círculo – já aparece no papiro de Rhind, um documento egípcio de cerca de 4 mil 🏀 anos atrás.
O que se sabe é que foram os antigos gregos que apresentaram esses problemas com precisão, em termos matemáticos.
Resumidamente, 🏀 os objetivos desses problemas eram encontrar:
• a quadratura do círculo
• 🏀 a trissecção do ângulo
• a duplicação 🏀 do cubo
• a inscrição de todos os polígonos regulares em um círculo
Expressos 🏀 desta forma, podem parecer confusos, mas, na verdade, o que está sendo pedido é:
• 🏀 desenhar um quadrado cuja área seja a mesma de um círculo dado
• 🏀 dividir um ângulo em três ângulos iguais
• desenhar um cubo 🏀 que tenha o dobro do tamanho de outro
• dividir um círculo em 🏀 partes iguais
Assim está mais claro, não?
Mas, como disse o escritor americano Donald Westlake (1933-2008), "sempre que algo parece fácil, é 🏀 porque existe uma parte que você não ouviu". Ou, neste caso, que nós não dissemos.
Você só pode resolver estes problemas 🏀 no estilo usado na Grécia antiga. Ou seja, além de algo para traçar um desenho, algo onde desenhar e da 🏀 grupo telegram betnacionalmente, você só pode usar um compasso e uma régua sem marcações.
Crédito, getty img}
Régua (sem marcação) e compasso são 🏀 as únicas ferramentas que podem ser usadas para solucionar os desafios clássicos.
"Esta é uma boa pergunta. E há várias respostas", 🏀 afirmou à grupo telegram betnacional News Mundo (o serviço em espanhol da grupo telegram betnacional) o matemático David Richeson, autor do livro Tales of 🏀 Impossibility ("Contos de impossibilidade", em tradução livre).
"Uma resposta é que o compasso e a régua são registrados muito claramente nos 🏀 postulados do livro fundamental de matemática Os Elementos de Euclides [cerca de 300 a.C.]", explica ele.
"Outra é que eles representam 🏀 as ferramentas mais básicas que sempre foram usadas. Com uma corda, você pode traçar uma linha reta e, se fixar 🏀 uma das extremidades ao solo, com a outra pode desenhar um círculo."
"Mas também porgrupo telegram betnacionalsimplicidade e elegância", afirma o 🏀 matemático. "Para mim, o surpreendente não é tanto o que não se pode fazer, mas tudo o que se pode 🏀 fazer com estas ferramentas."
Você pode, por exemplo, bissectar um ângulo (dividi-lo em dois ângulos iguais) com facilidade.
Podcast traz áudios com 🏀 reportagens selecionadas.
Episódios
Fim do Podcast
(1) Apoie o compasso no vértice do ângulo e desenhe um arco. (2) Apoie o compasso em 🏀 um dos pontos de intersecção do arco com as linhas e desenhe um arco. (3) Faça o mesmo no outro 🏀 ponto de intersecção. (4) Trace uma linha entre o vértice do ângulo e o ponto de intersecção dos dois arcos.
"A 🏀 bissecção de um ângulo é algo que aprendemos na aula de geometria na escola. É muito simples", destaca Richeson. "Mas 🏀 a pergunta que interessava aos gregos é: se você tiver um ângulo, poderia dividi-lo em três partes iguais?"
"A resposta é: 🏀 às vezes, sim, mas não existe uma regra geral para isso."
O matemático prossegue: "Isso não quer dizer que estes problemas 🏀 sejam insolúveis, independentemente das ferramentas que você utilizar. Mas, com as ferramentas euclidianas clássicas, é impossível resolvê-los."
Arquimedes, um dos maiores 🏀 matemáticos da história, demonstrou que, se a régua tiver apenas duas marcas, é possível medir exatamente uma distância, o que 🏀 seria suficiente para proceder à trissecção de qualquer ângulo, segundo Richeson. "Ou seja, se as suas ferramentas fossem um pouquinho 🏀 mais sofisticadas, estes problemas poderiam ser solucionados."
Mas, assim, não vale. O desafio é resolver os problemas respeitando as regras do 🏀 jogo, o que é irresistível para mentes brilhantes...
O primeiro matemático conhecido por tentar atingir a quadratura do círculo foi Anaxágoras, 🏀 famoso por ter sido o primeiro a introduzir a filosofia em Atenas, na Grécia, no século 5° a.C.
Anaxágoras foi preso 🏀 por afirmar que o Sol não é um deus, mas uma rocha que arde em vermelho vivo, e que a 🏀 Lua refletegrupo telegram betnacionalluz, segundo conta o historiador Plutarco (46-120 d.C.).
Ele passou seu tempo na prisão tentando construir, apenas com 🏀 régua e compasso, um quadrado com a mesma área de um círculo. Mas seus esforços foram em vão.
Seu contemporâneo Hipócrates 🏀 de Quio, um dos matemáticos cuja obra foi sintetizada na geometria euclidiana, conseguiu uma solução parcial alentadora: a lúnula de 🏀 Hipócrates, a primeira quadratura de uma figura curvilínea da história.
Seriam necessários 23 séculos para que o grande matemático e físico 🏀 suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrasse dois novos tipos de lúnulas que podiam ser transformadas em quadrados, em 1771. Masgrupo telegram betnacional🏀 descoberta não contribuiria para a quadratura do círculo, como se chegou a pensar.
A lúnula de Hipócrates foi a primeira das 🏀 únicas cinco lúnulas que podem ser transformadas em quadrados com régua e compasso.
Este é apenas o princípio de uma longa 🏀 lista de matemáticos, amadores ou não, que tentaram atingir este objetivo, armados apenas com as duas ferramentas.
"Leonardo da Vinci [1452-1519] 🏀 passou um período realmente fascinado pela matemática e pela geometria e tentou resolver estes problemas, mas também incorporou seu talento 🏀 artístico para criar desenhos com eles", destaca Richeson.
Crédito, GETTY IMAGES
O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci evocou o problema da 🏀 quadratura do círculo no século 15, mas não tentou resolvê-lo.
E da Vinci não foi o único renascentista a tentar resolver 🏀 os problemas clássicos. O artista mais famoso do Renascimento alemão, Albrecht Dürer (1471-1528), foi outro dos matemáticos mais importantes daquela 🏀 época.
No segundo volume dagrupo telegram betnacionalobra Os Quatro Livros da Medida, Dürer forneceu métodos aproximados para atingir a quadratura do 🏀 círculo, utilizando construções com régua e compasso. E também forneceu um método para obter, de forma bastante aproximada, a trissecção 🏀 do ângulo com ferramentas euclidianas.
Crédito, Reprodução
O famoso artista do Renascimento alemão Albrecht Dürer tentou resolver o problema da quadratura do 🏀 círculo, sem sucesso.
Para Richeson, uma das histórias mais fascinantes fala sobre a construção de polígonos regulares – ou seja, a 🏀 divisão do círculo em partes iguais.
"Este sempre foi um problema notoriamente complicado", ele conta. "Sabia-se fazer vários deles, mas não 🏀 todos. Alguns, como os polígonos com 7, 9 e 17 lados, eram desconhecidos e, por muitos anos, as pessoas se 🏀 perguntavam se seriam impossíveis."
Desde o tempo da Grécia clássica até o final do século 18, não houve progressos significativos usando 🏀 apenas as ferramentas euclidianas. Até que surgiu o prodígio matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
"Em 1796, Gauss era apenas um 🏀 adolescente, mas acabou sendo um dos matemáticos mais famosos da história. Ele demonstrou que é possível construir um polígono regular 🏀 com 17 lados."
"Foi uma de suas primeiras descobertas – algo que era impossível para gerações de matemáticos", conta Richeson.
É preciso 🏀 também ter em mente que, como estes problemas são teóricos e não práticos, as provas dagrupo telegram betnacionalresolução são mais 🏀 importantes do que a resolução em si. E a profunda análise feita por Gauss para comprovargrupo telegram betnacionaldescoberta abriu as 🏀 portas para ideias posteriores sobre a chamada teoria de Galois.
Por isso, se você se perguntava qual o benefício de tantas 🏀 mentes brilhantes terem se esforçado tanto, tentando conseguir algo que, em vários casos, poderia ser atingido com outras ferramentas, este 🏀 é um exemplo de processo de retroalimentação que gerou muitos outros conhecimentos.
"Tentar resolver estes problemas realmente impulsionou a matemática, mas 🏀 também, à medida que a matemática se desenvolvia, as pessoas retornavam aos problemas antigos e verificavam se as novas descobertas 🏀 ajudavam a resolvê-los", explica o especialista. "Foi uma espécie de ida e volta ao longo dos séculos."
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'O Ancião 🏀 dos Dias', de William Blake (1757-1827), mostra Urizen (a encarnação da sabedoria convencional e da lei no seu universo mitológico) 🏀 segurando um compasso (para ele, o símbolo da razão, que limita a imaginação).
Tentar solucionar estes problemas contribuiu para o progresso 🏀 da matemática, mas a demonstração dagrupo telegram betnacionalimpossibilidade dependia desses avanços.
"Foi preciso esperar pela invenção da geometria analítica, da álgebra, 🏀 do cálculo, dos números complexos, a compreensão profunda do número π e até um pouco da teoria dos números", afirma 🏀 Richeson, "e esta foi parte da razão por que demorou tanto tempo."
No caso da quadratura do círculo, por exemplo, "o 🏀 tiro de misericórdia ocorreu quando se descobriu que π é um número transcendental".
Após séculos de uma obsessão que chegou a 🏀 receber um nome na Grécia antiga – tetragonidzein, ou ocupar-se com a quadratura do círculo –, a busca chegou ao 🏀 fim.
A quadratura do círculo não foi apenas uma ambição dos luminares mais ou menos célebres, que trouxeram avanços ao conhecimento 🏀 com seus esforços. Milhares de pessoas, ao longo dos anos, sofreram do que o matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871) 🏀 chamou de morbus cyclometricus – a doença da quadratura do círculo que, segundo ele, afetava os entusiastas mal informados.
Uma dessas 🏀 pessoas foi o contador e matemático amador argentino Elías O'Donnell. Em 1870, ele publicou um livro com "a mais íntima 🏀 consciência de que, neste tratado, é demonstrada, da forma mais convincente e rigorosa, a desejada resolução exata da quadratura do 🏀 círculo", segundo declarado pelo autor, logo na primeira página da obra.
"E, por mais grave que pareça esta afirmação, ela será 🏀 verdadeira para todos os séculos da posteridade."
Crédito, Reprodução
Detalhe da capa do livro de Elias O'Donnell, que pretendia resolver o problema 🏀 da quadratura do círculo.
Mas, desde 1801, já se sabia, graças a Gauss, que π (a área do círculo com raio 🏀 1) é transcendente e, por isso, a quadratura do círculo é impossível.
Em 1882, outro matemático alemão, Ferdinand Von Lindemann (1852-1939), 🏀 demonstrou que, de fato, π é um número transcendental.
E, 45 anos antes, o matemático francês Pierre Wantzel (1814-1848) havia comprovado, 🏀 em uma das sete páginas de um artigo degrupo telegram betnacionalautoria, que os outros três problemas também são insolúveis.
Tudo isso 🏀 é assombroso, pois comprovar que algo é impossível é imensamente difícil... e importante.
"Geralmente, quando pensamos que algo é impossível, acreditamos 🏀 que seja muito difícil, que pode levar muito tempo ou algo assim", explica Richeson. "Mas, quando um matemático demonstra que 🏀 algo é impossível, isso significa que, do ponto de vista lógico, aquilo não pode acontecer: não existe forma de proceder 🏀 à trissecção de um ângulo geral. Não há forma de fazer a quadratura do círculo."
"Não se trata apenas de 'não 🏀 somos suficientemente inteligentes', 'não nos esforçamos o suficiente' ou 'precisamos de mais tempo. É: 'paramos por aqui: é impossível'."
"Existem diversos 🏀 teoremas de impossibilidade famosos na matemática e todos são muito venerados porque foi demonstrada a negação: que algo não pode 🏀 acontecer", prossegue o matemático. "E este é um sucesso incrível."
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Tentativas promissoras de resolver a quadratura do círculo transferiram 🏀 o problema de geometria para a teoria dos grafos, mas usando computadores e não régua e compasso.
Mas isso não significa 🏀 que as pessoas se deem por vencidas.
Em 1897, por exemplo, o Senado de Indiana, nos Estados Unidos, discutiu um projeto 🏀 de lei para legalizar um método de quadratura do círculo descoberto pelo médico e matemático amador Edwin L. Goodwin.
A lei 🏀 procurava "introduzir uma nova verdade matemática". Ela foi inicialmente aceita por um comitê, até que foi finalmente rejeitada.
Conta-se que não 🏀 existe matemático que não tenha recebido por e-mail soluções sobre a quadratura do círculo, duplicação de cubos ou trissecção de 🏀 ângulos, de pessoas convencidas de terem encontrado a solução.
"Elas insistem por não entenderem o significado de 'impossível'", explica Richeson. E 🏀 também porque as supostas soluções "são fáceis de descrever e brincar com elas". Por isso, eles tentam, acreditam ter resolvido 🏀 "e enviam as soluções para os matemáticos das universidades".
"Com certeza, haverá um erro em alguma parte, seja ele matemático ou 🏀 com as regras. De forma que, talvez, elas tenham encontrado uma forma de resolver algum desses problemas, mas não usando 🏀 as regras clássicas."
Euclides construiu todo um arcabouço de sabedoria e possibilitou a criação de novas ideias, pois seus contemporâneos e 🏀 as gerações seguintes continuaram tentando impulsionar o conhecimento, valendo-se apenas de régua e compasso.
No caso destes quatro problemas, talvez se 🏀 suspeitasse desde a Grécia antiga que agrupo telegram betnacionalsolução seria impossível. Mas tentar resolvê-los foi muito enriquecedor.
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